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數學是中國古代科學中一門重要的學科，根據中國古代數學發展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發展；繁榮和中西方數學的融合。 中國古代數學的萌芽 原始公社末期，私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字元號取代結繩記事了。 西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、准、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。 商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天乾和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。 公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，並舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為」六藝」之一的數已經開始成為專門的課程。 春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。 戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出」矩不方，規不可以為圓」，把」大一」(無窮大)定義為」至大無外」，」小一」(無窮小)定義為」至小無內」。還提出了」一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等命題。 而墨家則認為名來源於物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。 墨家不同意」一尺之棰」的命題，提出一個」非半」的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的」非半」，這個」非半」就是點。 名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發展是很有意義的。 中國古代數學體系的形成 秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。 《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。 《九章算術》有幾個顯著的特點：採用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。 這些特點是同當時社會條件與學術思想密切相關的。秦漢時期，一切科學技術都要為當時確立和鞏固封建制度，以及發展社會生產服務，強調數學的應用性。最後成書於東漢初年的《九章算術》，排除了戰國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重於與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其解法，這與當時社會的發展情況是完全一致的。 《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，並成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數學的發展。 中國古代數學的發展 魏、晉時期出現的玄學，不為漢儒經學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利於數學從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經》，漢末魏初徐岳撰《九章算術》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術》注、《九章重差圖》都是出現在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。 趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明與推導的最早的數學家之一。他在《周髀算經》書中補充的」勾股圓方圖及注」和」日高圖及注」是十分重要的數學文獻。在」勾股圓方圖及注」中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在」日高圖及注」中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創性的，在中國古代數學發展中佔有重要地位。 劉徽約與趙爽同時，他繼承和發展了戰國時期名家和墨家的思想，主張對一些數學名詞特別是重要的數學概念給以嚴格的定義，認為對數學知識必須進行」析理」，才能使數學著作簡明嚴密，利於讀者。他的《九章算術》注不僅是對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發展。劉徽創造割圓術，利用極限的思想證明圓的面積公式，並首次用理論的方法算得圓周率為157/50和3927/1250。 劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恆為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓台的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。 東晉以後，中國長期處於戰爭和南北分裂的狀態。祖沖之父子的工作就是經濟文化南移以後，南方數學發展的具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術》的基礎上，把傳統數學大大向前推進了一步。他們的數學工作主要有：計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖(日恆)原理；提出二次與三次方程的解法等。 據推測，祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個結果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西方領先約一千年之久； 祖沖之之子祖(日恆)總結了劉徽的有關工作，提出」冪勢既同則積不容異」，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖(日恆)公理。祖(日恆)應用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。 隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通的《緝古算經》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數學的情況。王孝通在不用數學符號的情況下，立出數字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為後來天元術的建立打下基礎。此外，對傳統的勾股形解法，王孝通也是用數字三次方程解決的。 唐初封建統治者繼承隋制，656年在國子監設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋《算經十書》，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為准。李淳風等編纂的《算經十書》，對保存數學經典著作、為數學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經》、《九章算術》以及《海島算經》所作的註解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由於歷法的需要，天算學家創立了二次函數的內插法，豐富了中國古代數學的內容。 算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優點，但也存在布籌佔用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術上是重要的改革。尤其是」珠算」，它繼承了籌算五升十進與位值制的優點，又克服了籌算縱橫記數與置籌不便的缺點，優越性十分明顯。但由於當時乘除演算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。 唐中期以後，商業繁榮，數字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次演算法改革主要是簡化乘、除演算法，唐代的演算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用於籌算，也適用於珠算。 中國古代數學的繁榮 960年，北宋王朝的建立結束了五代十國割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮，科學技術突飛猛進，火葯、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》，1213年鮑擀之又進行翻刻。這些都為數學發展創造了良好的條件。 從11～14世紀約300年期間，出現了一批著名的數學家和數學著作，如賈憲的《黃帝九章演算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章演算法》《日用演算法》和《楊輝演算法》，朱世傑的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領域都達到古代數學的高峰，其中一些成就也是當時世界數學的高峰。 從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章演算法纂類》中載有賈憲」增乘開平方法」、」增乘開立方法」；在《詳解九章演算法》中載有賈憲的」開方作法本源」圖、」增乘方法求廉草」和用增乘開方法開四次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發現二項系數表，創造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。 把增乘開方法推廣到數字高次方程(包括系數為負的情形)解法的是劉益。《楊輝演算法》中」田畝比類乘除捷法」卷，介紹了原書中22個二次方程和1個四次方程，後者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。 秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，奏九韶把常數項規定為負數，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數時，秦九韶採取繼續求根的小數，或用減根變換方程各次冪的系數之和為分母，常數為分子來表示根的非整數部分，這是《九章算術》和劉徽注處理無理數方法的發展。在求根的第二位數時，秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第二位數的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。 元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數的內插值問題。秦九韶在」綴術推星」題、朱世傑在《四元玉鑒》」如象招數」題都提到內插法(他們稱為招差術)，朱世傑得到一個四次函數的內插公式。 用天元(相當於x)作為未知數符號，立出高次方程，古代稱為天元術，這是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題。現存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。 從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今，並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑒》。 朱世傑的四元高次聯立方程組表示法是在天元術的基礎上發展起來的，他把常數放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世傑的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數，其他元組成的多項式作為這未知數的系數，列成若干個一元高次方程式，然後應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重復這一步驟便可消去其他未知數，最後用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發展，比西方同類方法早400多年。 勾股形解法在宋元時期有新的發展，朱世傑在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。 已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧，求赤經余弧和赤緯度數，是一個解球面直角三角形的問題，傳統歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統的勾股形解法、沈括用會圓術和天元術解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。 中國古代計算技術改革的高潮也是出現在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目，其數量遠比唐代為多，改革的主要內容仍是乘除法。與演算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現。但如果把現代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的演算法和口訣，那麼應該說它最後完成於元代。 宋元數學的繁榮，是社會經濟發展和科學技術發展的必然結果，是傳統數學發展的必然結果。此外，數學家們的科學思想與數學思想也是十分重要的。宋元數學家都在不同程度上反對理學家的象數神秘主義。秦九韶雖曾主張數學與道學同出一源，但他後來認識到，」通神明」的數學是不存在的，只有」經世務類萬物」的數學；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的」用假象真，以虛問實」則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對縱橫圖結構進行研究，揭示出洛書的本質，有力地批判了象數神秘主義。所有這些，無疑是促進數學發展的重要因素。 中西方數學的融合 中國從明代開始進入了封建社會的晚期，封建統治者實行極權統治，宣傳唯心主義哲學，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數學發展逐漸衰落。 16世紀末以後，西方初等數學陸續傳入中國，使中國數學研究出現一個中西融合貫通的局面；鴉片戰爭以後，近代數學開始傳入中國，中國數學便轉入一個以學習西方數學為主的時期；到19世紀末20世紀初，近代數學研究才真正開始。 從明初到明中葉，商品經濟有所發展，和這種商業發展相適應的是珠算的普及。明初《魁本對相四言雜字》和《魯班木經》的出現，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，後者把算盤作為家庭必需用品列入一般的木器傢具手冊中。 隨著珠算的普及，珠算演算法和口訣也逐漸趨於完善。例如王文素和程大位增加並改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣並在除法中廣泛應用歸除，從而實現了珠算四則運算的全部口訣化；朱載墒和程大位把籌算開平方和開立方的方法應用到珠算，程大位用珠算解數字二次、三次方程等等。程大位的著作在國內外流傳很廣，影響很大。 1582年，義大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以後，他先後與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《測量法義》一卷，與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在他主持下，編譯《崇禎歷書》137卷。《崇禎歷書》主要是介紹歐洲天文學家第谷的地心學說。作為這一學說的數學基礎，希臘的幾何學，歐洲玉山若乾的三角學，以及納皮爾算籌、伽利略比例規等計算工具也同時介紹進來。 在傳入的數學中，影響最大的是《幾何原本》。《幾何原本》是中國第一部數學翻譯著作，絕大部分數學名詞都是首創，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認為對它」不必疑」、」不必改」，」舉世無一人不當學」。《幾何原本》是明清兩代數學家必讀的數學書，對他們的研究工作頗有影響。 其次應用最廣的是三角學，介紹西方三角學的著作有《大測》《割圓八線表》和《測量全義》。《大測》主要說明三角八線(正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、余矢)的性質，造表方法和用表方法。《測量全義》除增加一些《大測》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有這些，在當時歷法工作中都是隨譯隨用的。 1646年，波蘭傳教士穆尼閣來華，跟隨他學習西方科學的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世後，薛鳳柞據其所學，編成《歷學會通》，想把中法西法融會貫通起來。《歷學會通》中的數學內容主要有比例對數表》《比例四線新表》和《三角演算法》。前兩書是介紹英國數學家納皮爾和布里格斯發明增修的對數。後一書除《崇禎歷書》介紹的球面三角外，尚有半形公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中通所著《數度衍》對對數理論進行解釋。對數的傳入是十分重要，它在歷法計算中立即就得到應用。 清初學者研究中西數學有心得而著書傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》、梅文鼎《梅氏叢書輯要》(其中數學著作13種共40卷)、年希堯《視學》等。梅文鼎是集中西數學之大成者。他對傳統數學中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進行整理和研究，使瀕於枯萎的明代數學出現了生機。年希堯的《視學》是中國第一部介紹西方透視學的著作。 清康熙皇帝十分重視西方科學，他除了親自學習天文數學外，還培養了一些人才和翻譯了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙養齋匯編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文演算法書。1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙」御定」的名義於1723年出版。其中《數理精蘊》主要由梅彀成負責，分上下兩編，上編包括《幾何原本》、《演算法原本》，均譯自法文著作；下編包括算術、代數、平面幾何平面三角、立體幾何等初等數學，附有素數表、對數表和三角函數表。由於它是一部比較全面的初等數學網路全書，並有康熙」御定」的名義，因此對當時數學研究有一定影響。 綜上述可以看到，清代數學家對西方數學做了大量的會通工作，並取得許多獨創性的成果。這些成果，如和傳統數學比較，是有進步的，但和同時代的西方比較則明顯落後了。 雍正即位以後，對外閉關自守，導致西方科學停止輸入中國，對內實行高壓政策，致使一般學者既不能接觸西方數學，又不敢過問經世致用之學，因而埋頭於究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個以考據學為主的乾嘉學派。 隨著《算經十書》與宋元數學著作的收集與注釋，出現了一個研究傳統數學的高潮。其中能突破舊有框框並有發明創造的有焦循、汪萊、李銳、李善蘭等。他們的工作，和宋元時代的代數學比較是青出於藍而勝於藍的；和西方代數學比較，在時間上晚了一些，但這些成果是在沒有受到西方近代數學的影響下獨立得到的。 與傳統數學研究出現高潮的同時，阮元與李銳等編寫了一部天文數學家傳記-《疇人傳》，收集了從黃帝時期到嘉慶四年已故的天文學家和數學家270餘人(其中有數學著作傳世的不足50人)，和明末以來介紹西方天文數學的傳教士41人。這部著作全由」掇拾史書，荃萃群籍，甄而錄之」而成，收集的完全是第一手的原始資料，在學術界頗有影響。 1840年鴉片戰爭以後，西方近代數學開始傳入中國。首先是英人在上海設立墨海書館，介紹西方數學。第二次鴉片戰爭後，曾國藩、李鴻章等官僚集團開展」洋務運動」，也主張介紹和學習西方數學，組織翻譯了一批近代數學著作。 其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代數學》《代微積拾級》；華蘅芳與英人傅蘭雅合譯的《代數術》《微積溯源》《決疑數學》；鄒立文與狄考文編譯的《形學備旨》《代數備旨》《筆算數學》；謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》《八線備旨》等等。 《代微積拾級》是中國第一部微積分學譯本；《代數學》是英國數學家德·摩根所著的符號代數學譯本；《決疑數學》是第一部概率論譯本。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今還在應用，但所用數學符號一般已被淘汰了。戊戌變法以後，各地興辦新法學校，上述一些著作便成為主要教科書。 在翻譯西方數學著作的同時，中國學者也進行一些研究，寫出一些著作，較重要的有李善蘭的《《尖錐變法解》《考數根法》；夏彎翔的《洞方術圖解》《致曲術》《致曲圖解》等等，都是會通中西學術思想的研究成果。 由於輸入的近代數學需要一個消化吸收的過程，加上清末統治者十分腐敗，在太平天國運動的沖擊下，在帝國主義列強的掠奪下，焦頭爛額，無暇顧及數學研究。直到1919年五四運動以後，中國近代數學的研究才真正開始。 近現代數學發展時期 這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標志劃分為兩個階段。 中國近3年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來(1915年轉留法)，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國，各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系，1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學(今南京大學)和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵(1927)、陳省身(1934)、華羅庚(1936)、許寶騄(1936)等人，他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素(1920)，美國的伯克霍夫(1934)、奧斯古德(1934)、維納(1935)，法國的阿達馬(1936)等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年《中國數學會學報》和《數學雜志》相繼問世，這些標志著中國現代數學研究的進一步發展。 解放以前的數學研究集中在純數學領域，在國內外共發表論著600餘種。在分析學方面，陳建功的三角級數論，熊慶來的亞純函數與整函數論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數論與代數方面，華羅庚等人的解析數論、幾何數論和代數數論以及近世代數研究取得令世人矚目的成果；在幾何與拓撲學方面，蘇步青的微分幾何學，江澤涵的代數拓撲學，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創性的工作：在概率論與數理統計方面，許寶騄在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴密證明。此外，李儼和錢寶琮開創了中國數學史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產重放光彩。 1949年11月即成立中國科學院。1951年3月《中國數學學報》復刊(1952年改為《數學學報》)，1951年10月《中國數學雜志》復刊(1953年改為《數學通報》)。1951年8月中國數學會召開建國後第一次全國代表大會，討論了數學發展方向和各類學校數學教學改革問題。 建國後的數學研究取現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有：190得長足進步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素數論》(1953)、蘇步青的《射影曲線概論》(1954)、陳建功的《直角函數級數的和》(1954)和李儼的《中算史論叢》(5輯，1954-1955)等專著，到1966年，共發表各種數學論文約2萬余篇。除了在數論、代數、幾何、拓撲、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外，還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破，有許多論著達到世界先進水平，同時培養和成長起一大批優秀數學家。 60年代後期，中國的數學研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷，後經多方努力狀況略有改變。1970年《數學學報》恢復出版，並創刊《數學的實踐與認識》。1973年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。 1978年11月中國數學會召開第三次代表大會，標志著中國數學的復甦。1978年恢復全國數學競賽，1985年中國開始參加國際數學奧林匹克數學競賽。1981年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵。1983年國家首批授於18名中青年學者以博士學位，其中數學工作者佔2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數學家大會，加入國際數學聯合會，吳文俊應邀作了關於中國古代數學史的45分鍾演講。近十幾年來數學研究碩果累累，發表論文專著的數量成倍增長，質量不斷上升。1985年慶祝中國數學會成立50周年年會上，已確定中國數學發展的長遠目標。代表們立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國。

Ⅳ 求東方人物的稱呼

純手打= =有錯誤疏漏請多見諒

博麗靈夢 紅白（因為紅白色巫女裝）、無節操（看網路去）、10萬巫女（典故同左）、腋巫女（因為紅白色露腋巫女裝）、1P（萬年的自機）等
和西瓜、紫等有LL關系（和紫在YYC組成結界組，玻璃神社大結界就是她倆乾的好事）城管（實力不在實力表中，屬於總管理者一級）大後宮（和她有關系的都已經數不過來了- =）
春色小徑、少女綺想曲（同人曲里出現最多的還是少女綺想曲了，我的菜啊~~~~~）

霧雨魔理沙 黑白（因為黑白色的...）、純爺們、Da☆Ze（某同人里的語綴だぜ，之後的魔理沙一般說話都是xxxxだぜ一下）、人(淫)參(生)贏家（後宮狂）、小偷（總是在紅魔館圖書館借書不還+魔理沙偷走了重要的東西）。說道黑白就是掃把、八卦爐、蘑菇、戀色、魔炮這些關鍵詞
和小愛在YYC中組成「吟唱組」和小愛、圖書、河童、芙蘭都有LL關系
在妖精大戰爭里是EX面BOSS
戀色（Magic、MasterSpark，主要是戀色マスタースパーク用的多）和メイガスナイト（真燃，尤其是Megus Light）

露米婭 十進制（某出場里造型呈十字架）其他的還真不怎麼知道...紅魔鄉1面。另外有人說頭上的發帶解開之後就EX化了= =還有說和大小姐也有血緣關系= =只不過芙蘭控制不住力量所以被關起來了，露米婭已經有發帶封印了所以就放在外面養著（紅魔館的花園里么= =）
金發紅發帶是特徵（很容易不小心看成黑白？為啥？我也不知道）
妖魔夜行。ほおずきみたいに紅い魂。

大妖精 大醬 其他的不怎麼清楚 紅魔鄉2面中
綠毛
ルーネイトエルフ

琪露諾 笨蛋、⑨（說道⑨就一定是Cirno這笨蛋，因為神主說她是笨蛋她就是笨蛋）紅魔鄉2面（妖妖夢1面中）
左右各三冰塊狀翅膀
おてんば戀娘（這個也是爛大街的東西了- =各種被青睞）

紅美玲 美玲、門番（紅魔館看門的，日文為「門番」）、中國（設定為中國人）紅魔鄉3面
旗袍（漢服）、龍星頭飾（同人圖里有可能不戴帽子，所以星星就變成頭飾了）是標志
上海紅茶館〜 Chinese Tea、明治十七年の上海アリス（一直以為紅茶館是主曲，明治十七年是小愛的曲子呢- -）

小惡魔 小醬 不知道唉= = 圖書管長帕秋莉的手下圖書管理員吧= = 紅魔鄉4面中
ヴワル魔法図書館（巴伐魯圖書館我一直也看成是圖書的，誰讓天則里圖書館的BGM默認不是少女密室而是這個了）

帕秋莉諾蕾姬 圖書、圖書館、香草（源自名字パチュリー帕秋莉，パチュリー=patchouli=patchouly=patchouli=廣藿香=香草）、neet（病弱屬性，基本不離開圖書館，和芙蘭、輝夜共稱幻想鄉三大家裡蹲）黑白的後宮（一般認為小愛是正宮，因為小愛和黑白在永夜抄中組成「詠唱組」，所以經常會出現圖書和小愛搶黑白的同人物） 紅魔鄉4面、EX面中
睡衣、日月頭飾是標志
ラクトガール〜 少女密室（哎，真慘...就這個）雖然有魔法少女達の百年祭這個EX中BGM，不過一般都是當成二小姐的曲子了吧...

十六夜咲夜 十六（名字= =）石榴（還是名字= =）女僕長（工作）Pad長（因為立繪中胸量不同，被人戲稱帶著Pad--胸墊。PS好多人立繪胸量都不同= =）紅魔鄉5面、6面中
在YYC中和大小姐組成「紅魔組」，誰攻誰受一眼就看的出來...飛刀+懷表、妹抖服、綠色蝴蝶結（發飾）是標志
メイドと血の懐中時計、月時計〜 ルナ‧ダイアル。沒說的，還有萃夢想的フラワリングナイト（Flowering Night）這首。
話說ナイト・オブ・ナイツ一定不能發給過，各種版本都必須聽

蕾米莉亞斯卡雷特 大小姐（紅魔館大小姐）蕾米（名字）蕾咪（還是名字）紅魔（因為二小姐沒在彈幕格鬥里出現，所以一說紅魔就是大小姐了）
在YYC中和十六組成「紅魔組」，據說超控妹妹。紅魔鄉的6面BOSS
洋裝、特殊的帽子（很好認）、惡魔翅膀、血、神槍（被畫成各種各樣的長槍，源自SC神槍），是標志
亡き王女の為のセプテット、ツェペシュの幼き末裔（好吧，是6面中，是十六的，但是一般都看成大小姐的吧）
王女絕對給力的BGM，各種快慢曲都有

芙蘭朵露斯卡雷特 二小姐（↑） 芙蘭 鬼畜妹（一說鬼畜就是芙蘭了）妹樣（因為是大小姐的妹妹，被稱為いもうとさま→妹様（漢字寫法））
紅魔鄉的EX面BOSS（相當兇殘了= =）翅膀是一根翅骨吊著一串水晶狀物品（因為具有毀滅的力量，翅膀被姐姐撕掉了，並且被關入地下室，具體的看網路）造型和大小姐很類似
U.N.オーエンは彼女なのか？（為什麼叫U.N.Owen？網路一下）我接觸的第三首東方同人曲就是緋色月下、狂咲ノ絕（就是她的曲子）被洗腦到不能再洗腦

蕾迪·霍瓦特羅克 冬季遺忘之物（我真不知道外號- =，這種一面BOSS- =）和⑨有母女(?)關系，經常在同人里和⑨一起出現，類似於⑨的長輩照顧著⑨（妖妖夢1面中被幹掉的笨蛋就是你給收的屍吧= =）
クリスタライズシルバー（無何有の郷〜 Deep Mountain 一面面中BGM你就當成誰的都不是好了）

愛麗絲瑪·格特羅伊德 小愛、七彩（人偶的顏色）、手辦（因為玩人偶= =） 妖妖夢3面（我覺得最好打的一面，PS我是彈幕渣）
在YYC中和黑白組成「吟唱組」黑白的正宮，和圖書搶黑白算是正常的（經常被搞成怨婦造型= =某同人里寫著一地的魔理沙喜歡的人是我；魔理沙偷走了重要的東西也是從小愛這兒偷得）手辦（一般都是蓬萊和上海兩款）、魔法書（Grimoire，魔法書，很強力的東西，打開就可以釋放出各種魔法，不過沒見她用過）
ブクレシュティの人形師、人形裁判〜 人の形弄びし少女（真是我的菜~為什麼緋想天里用的ブクレシュティの人形師呢？）

麗麗霍瓦特（白，White） 個四面中，外號真不知道- =b一般都搞得很優雅的樣子 妖妖夢4面中
天空の花の都

魂魄妖夢 妖夢、凹夢（機體相當矮小，而且凹技十分強力）、餅夢（身材）、みょん（不知道= =P站好多畫師的凹夢都是打著みょん的Tag）是個受（攻自然是她的主子UU樣了） 妖妖夢5面BOSS、6面中
在YYC中和UU組成冥界組。雙刀（白樓、樓觀，一長一短）、大大的黑色發帶（有的同人圖里畫的相當大）、半身（氣球~）都是特徵
東方妖々夢〜 Ancient Temple、広有射怪鳥事〜 Till When?（超燃的東西）還有アルティメットトゥルス

西行寺幽幽子 UU（名字，幽幽=UU）、幽幽、幽幽樣（同二小姐被十六叫妹樣，UU被凹夢叫做幽幽樣）相當能吃的存在（什麼都吃，還總吃不飽的樣子，夜雀都被她啃了--YYC中2面BOSS夜雀被擊倒後UU說了句小脆骨太多，所以夜雀就有小脆骨的外號了= =）
在YYC中和妖夢組成冥界組，死人一隻（看妖妖夢的劇情）妖妖夢的6面BOSS。死蝶、櫻花樣摺扇（不是團扇）、和裝、特別的帽子（注意那個幽靈標志--類似の的造型）和紫是生死之交
幽雅に咲かせ、墨染の桜〜 Border of Life、ボーダーオブライフ（就是英文Border of Life）神BGM啊！可惜緋想天里被Remix的不像樣子

八雲藍 九尾狐、裸狐（某同人里說有裸露癖）、藍、藍樣（能這么叫的只有橙了）紫的式神，因為紫一般都在冬眠（拖走--）所以各種事都是藍來打理（據說腦子比電腦還強力萬倍）特別萌橙（會像十六和凹夢那樣噴鼻血的- -）
別說藍不強力，妖妖夢中的EX面BOSS、Phantasm面中
九尾、奇怪的帽子都是特徵
少女幻葬〜 Necro-Fantasy、妖々跋扈〜 Who done it!（注意少女幻葬是藍的，雖然調子和ネクロファンタジア一個樣，並且ネクロファンタジア就是英文Necrofantasia）

八雲紫 紫媽（死--）紫妹（這才對）間隙妖怪（日文隙間妖怪，因為是掌控境界的能力）永遠的十七歲（網路吧）傘媽（華麗的洋裝和陽傘。其實傘媽我更傾向於幽香）十分萌藍。實力非常強力。因為掌控境界的能力，所以是個大偷窺狂，同時是大S一隻 妖妖夢最終BOSS
和紅白在YYC種組成「結界組」傘、電車（源自SC廢線--自行網路）、各種標志牌、空間裂縫（間隙）以及眼睛、陽傘是標志
ネクロファンタジア 我接觸的第二個東方同人曲フラグメンツ，神曲

魂魄妖忌 妖夢她老子

莉格露奈特巴格（Bug，蟲子） 永夜抄的一面BOSS，各種被幽香虐待= =
蠢々秋月 〜 Mooned Insect

米斯蒂婭蘿蕾拉 夜雀，永夜抄二面BOSS。小脆骨（上面UU那裡說了）、鰻魚店店長（看網路吧...）經常和騷靈組隊開演唱會= =
夜雀の歌聲 〜 Night Bird、もう歌しか聞こえない

上白澤慧音 老師（開私塾的歷史老師- =）半獸（月圓變成半獸形態白澤）永夜抄三面BOSS、EX面中，獸形態下會用相當強里的沖頂技。妹紅的追隨者（不知道用哪個詞好，和妹紅關系非常好，形同永琳+輝夜的組合，每次妹紅和輝夜打架必然要和永琳去拉架= =）
奇特的帽子、劍（源自SC，自行網路）是特徵
かしき東方の血 〜 Old World、プレインエイジア（其實因該是這一個，前面是3面中曲）但是第一個為原曲的配個慧音的還是有好多

因幡帝 兔子（玲仙也叫兔子= =）寵物一隻，超級腹黑兔，各種折磨玲仙。永夜抄5面面中。特徵都不需要描寫= =
シンデレラケージ 〜 Kagome-Kagome、還有個お宇佐さまの素い幡這個曲子（花映冢）

玲仙 兔子，月兔大兵（看網路），受兔（各種受，輝夜、永琳還有腹黑兔），紅眼病（狂気の瞳）各種被永琳拿去做實驗。永夜抄五面BOSS
（還需要特徵嗎？）
狂気の瞳 〜 Invisible Full Moon，很好的曲子，也是很好改的曲子

八意永琳 師匠（日文師匠）月人賢者（和圖書、紫並稱三賢者）各種黑（平時很溫和）一直守護著輝夜 永夜抄6面BOSS（A）！
長發辮、護士帽、弓、針頭是特徵
千年幻想郷 〜 History of the Moon

蓬萊山輝夜 家裡蹲（上面說了，大Neet）、竹取姬（日文竹取飛翔）、傢具屋（名かぐや＝傢具屋） 原月人公主。和風帶竹子樣式的服裝、黑長直。永夜抄6面BOSS（B） 和妹紅打個沒完沒了。一個吃了不死葯一個本身就是不死身= =
竹取飛翔 〜 Lunatic Princess

藤原妹紅 妹紅、火雞（不老不死能力，火鳥，鳳凰）爺們（原因不說了，和黑白都是純爺們，各種同人里男人造型）
永夜抄EX面BOSS！
白色帶紅邊得大蝴蝶結（頭頂上）和一堆小號的白底紅邊蝴蝶結（頭發上）（很容易看成靈夢的蝴蝶結）、背帶褲（為什麼？）、火是特徵
月まで屆け、不死の煙
エクステンドアッシュ 〜 蓬萊人 這一首是不是算給白澤了？EX面中

射命丸文 文文（名字）、天狗（種族）、小報記者（職業）。風神少女（鴉天狗一族速度非常快） 擁有文文新聞這個報紙。到處偷拍（都拍出遊戲來了= =文花帖）各種欺負小椛，和山上的風祝早喵和兩柱神以及山腳河邊的河童又說不清的干係... 風神錄4面BOSS
（紅葉樣）團扇、相機、白色棉球頭飾、天狗翅膀是特徵。通常踩著木屐（同人圖里很少有改掉的）
地靈殿里是紅白的支援，特技超速移動
妖怪の山 ～ Mysterious Mountain、風神少女、天狗が見ている ～ Black Eyes、東の國の眠らない夜、東の國の眠らない夜（都是文花帖里的- -文文你面子好大，ZUN神還給誰寫過這么多BGM= =）

秋穰子，秋靜葉 秋姐妹，風神錄的面中一面...各種沒存在感 靜葉的紅葉頭飾是大特徵。經常有圍圈烤地瓜的景象 靜葉是風神錄1面中，穰子是1面BOSS
稲田姫様に叱られるから（還記得寫真館2的Staff那裡充滿喜感的那個曲子么- -）

鍵山雛 咕嚕咕嚕、轉轉（都是因為她總是再轉= =主要是因為風神錄里作為2面BOSS出場時就在轉）吸走厄運的一柱神
深紅色洋裝、深紅色的超大發帶、綠色的「厄」字元是標志
運命のダークサイド、厄神様の通り道〜 Dark Road(二面曲子）

河城荷取 河童，開著河童重工廠、出產各種高科技（地靈殿里作為黑白的支援，子彈是魚雷= =特技是光學迷彩= =b說不定就早出坦克了）各種受
風神錄3面BOSS
特徵是綠色的帽子和綠色的背包（大背包）
芥川龍之介の河童〜 Candid Friend（超喜歡河心通話這首）
神戀幻想鄉也是神曲啊！（神々が戀した幻想郷，看看幻想萬華鏡的那點點擊就好了= =）

犬走椛 小狼（笑）、小椛（再笑）文文的小弟，小受一隻。Bad apple!!的影繪里的那一段經常被拿來做簽名。風神錄4面中
再怎麼改，刀盾都不會離手

東風谷早苗 早苗、早喵、大姨媽（我一直覺得說的是柱媽= =）、大媽、藍白（是綠色吧！）、2P（1P是紅白巫女）。地靈殿EX面中（風神錄是5面BOSS）。風祝，上面還有兩柱神（兩柱神領著早喵去上幼兒園的同人圖一直在我心中閃閃發光= -）天則里好不容易升格自機，結果那立繪做的那個難看- =
和紅白的棒棒的造型是不一樣的（你想哪裡去了！）青蛙和白色的彎曲蛇型飾物是標志（好多更改尺度較大的圖里也還會保留這兩點來辨認身份）早喵是不是後來嫁給個姓古河的傢伙了？還生了個古河渚？
少女が見た日本の原風景、信仰は儚き人間の為に（後者很好，緋想天里音混的還不錯）

八坂神奈子 柱媽（身後的神柱）、大媽（ババ、婆...叫這個的各種被殺）風神錄6面BOS、EX面中。那一圈（什麼東西？不管了）和柱是大標志。
神さびた古戦場〜 Suwa Foughten Field

洩矢諏訪子 青蛙（分明就是青蛙） 風神錄EX面BOSS。帽子里到底有什麼呢？天則里是勝率三低（分別是十六、小愛、青蛙），詭異的D。和柱媽還早喵有各種關系。（通常早喵是受）
ネイティブフェイス（東方蒼天歌里的ケロ⑨太洗腦太萌了）

琪斯美 KissMe（讀音）、吊桶妹（因為是坐在吊桶里的= =死--）弔死妹（原因同左）地靈殿1面中
暗闇の風穴

黑谷山女 地靈殿的不了解= = 地靈殿1面BOSS
封じられた妖怪〜 Lost Place

水橋帕露西 地靈殿2面BOSS
綠眼のジェラシー

星熊勇儀 四鬼之一（另外一隻是西瓜）各種愛酒（貌似鬼都好這口- -）紅色有角三倍速（被惡搞扎古了- =具體看造型，網路一下） 地靈殿3面BOSS
華のさかづき大江山

古明地覺 古明地姐姐，地靈殿4面BOSS，地靈殿的主人，相當控妹妹 小五蘿莉（古明地さとり是日文寫法，さとり＝悟り，悟=忄＋五＋口→忄=小，五=五，口=ロ(ro的片假名)，所以合起來小五ロり，ロり＝ろり＝蘿莉）所以也會被叫成小五（小五俺の嫁！！）
紫（粉？）發、睜開的眼睛
少女さとり〜 3rd eye 我的菜呀

古明地戀 古明地妹妹，地靈殿EX面BOSS。
綠毛，封閉的眼睛
ハルトマンの妖怪少女

火焰貓燐 古明地的寵物，地靈殿5面BOSS、4\6面中 和核彈娘是CP
死體旅行〜 Be of good cheer!
廃獄ララバイ 這一個BGM相當贊

靈烏路空 又一隻笨蛋，⑥（我不知道神主打的什麼注意0 0）核彈，阿空、高達（天則作為自機出場，有超大個個頭和超大的判定范圍，超強的攻擊力超快的A超級爛的剎車，還拿著棍子--制御棒，所以被成為高達）地靈殿6面BOSS
高達啊高達，和火焰貓是CP
霊知の太陽信仰〜 Nuclear Fusion 天則里的混音是什麼？我都想用Ruthless Fear里的那一首替換掉了

好吧，星蓮船我都不敢碰的，誰讓我是彈幕渣而th12又超級難= =
娜茲玲
多多良小傘
雲居一輪
雲居雲山
寅丸星
聖白蓮
封獸鵺

伊吹萃香 緋想天還是萃夢想冒出來的？忘了，西瓜（因為名字萃香＝すいか＝西瓜）。酒鬼一個，長期在神社幫忙，和紅白毛關系一看就知道
萃夢想、砕月

永江衣玖 緋想天自己，電鰻（好吧本來想說龍宮使的）電魚，大媽、19（衣玖中文19，其實我很想說衣玖＝いく來著= =）最標致的動作就是左手掐腰右手指天了，相當v587！追隨著天子（不過和慧音、永琳不同= =誰讓天子那麼...）
黒い海に紅く～ Legendary Fish瞅瞅這名字= =

比那名居天子 天人，大M總M，各種M...幻想鄉找不到第二個敢叫M子的傢伙了
有頂天変～ Wonderful Heaven

秋海棠極 好吧，也是天狗，也是小報記者？和文文類似，不過用的是高科技產物--手機（不會是河城重工生產的吧...）
造型和文文相當類似

好吧，貌似把山田隊長她們給漏了- -

メディスン‧メランコリー 就是梅蒂欣，被小愛扔掉了之後黑化了的玩偶（是不是被小愛扔掉的？233）毒人偶
總是把她和轉轉給弄混，主要是那個超大號的發帶的緣故。她是金毛的，轉轉是綠毛的
ポイズンボディ 〜 Forsaken Doll

風見幽香 傘媽，這才是傘媽，Bad apple!!的那個影繪里相當飄逸。實力勝過紫妹的另一隻超級大妖怪- =
傘媽的紅格子裙子相當容易辨認，一般都會伴隨著向日葵出場
今昔幻想郷 〜 Flower Land

小野冢小町 乳町（好吧，出了名的有乳量得傢伙- =）小町也是天則里的高達機，高攻+各種大硬直
彼岸帰航 〜 Riverside View（緋想天里的也是不像樣子了）

四季映姫‧ヤマザナドゥ 山田（知道為什麼是山田隊長嗎？而不是山本隊長嗎？因為某此某神筆誤把ヤマザ寫成ヤマダ了，ヤマダ＝山田，於是就成了山田了，至於為什麼是山田隊長，我也不知道- =）
六十年目の東方裁判 〜 Fate of Sixty Years

騷靈三姐妹
幽霊楽団 〜 Phantom Ensemble
樂隊，樂隊，樂隊 其實妖妖夢里就出現的，忘寫了= =妖妖夢3面